Une autre voix dans le chaos - Dans mon coeur, planètes et papillons

La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques a priori rigoureusement déterministes, mais qui présentent un phénomène fondamental d'instabilité appelé « sensibilité aux conditions initiales » qui, modulo une propriété supplémentaire de récurrence, les rend non prédictibles en pratique sur le « long » terme.

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Définition heuristique d'un système chaotique

Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

* le phénomène de sensibilité aux conditions initiales.

* une forte récurrence.

La présence de ces deux propriétés entraine un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi-périodique d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes de notre système solaire autour du Soleil ; souvenons-nous que Voltaire, lui-même introducteur de la mécanique de Newton en France au XVIIIe siècle, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »...

Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?

Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déja trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l'échelle microscopiques (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du XIXe siècle qu'une dynamique d'une grande complexité pouvait résulter d'un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté, pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.

La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée.



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Le problème à 3 corps

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme par exemple le système : { Soleil - Terre - Lune}, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du système solaire vers l'infini.



Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne ; en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace, qui crut avoir prouvé la stabilité du système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Malheureusement, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème.

Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est attelé au problème de la stabilité du système solaire. Entre 1880 et 1886, il commence par publier une série de mémoires intitulés : «Sur les courbes définies par une équation différentielle» qui donne naissance à l'analyse qualitative des équations différentielles. Poincaré y introduit notamment la notion capitale de portrait de phase, qui résume géométriquement l'aspect des solutions dans l'espace des phases du système.

Puis, en 1890, il publie le fameux mémoire intitulé : «Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique», qui lui vaudra le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques[11]. L'histoire est célèbre : le mémoire lauréat comportait une erreur détectée par le jeune mathématicien Phrägmen alors qu'il prépare le manuscrit pour l'imprimeur. Cette erreur obligera Poincaré à procéder à de profonds remaniements dans son mémoire, et aussi à rembourser les frais d'impression du premier mémoire, une somme supérieure de quelques mille couronnes au prix qu'il avait reçu. Mais cette erreur fut féconde, car en lieu et place de la stabilité du système solaire, Poincaré découvrit le chaos potentiel caché dans les équations de la dynamique.

Plus récemment, des calculs numériques effectués par l'astronome Jacques Laskar en 1989-1990, puis confirmés par Sussman & Wisdom en 1992, ont montrés que le système solaire est chaotique, avec un horizon de Lyapounov de l'ordre de 200 millions d'années.

Henri Poincaré :

« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime Rerirand, au début de son Calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. [...]

Pour trouver une meilleure défnition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. »

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »

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Lorenz & la météorologie

En 1963, le mathématicien et météorologiste Lorenz, en tentant d'expliquer et de prédire mathématiquement les changements météorologiques, mit en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie.

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard.

Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.

À partir de ces équations fort simples, il faisait de longs calculs sur un ordinateur. À un certain moment, désirant reprendre ses calculs, au lieu de les reprendre à zéro, il décida d'entrer manuellement une série de nombres calculés précédemment dans l'espoir de raccourcir le temps de calculs. Il découvrit alors que la nouvelle série de chiffres était entièrement différente, alors qu'elle aurait dû être potentiellement la même. En fait, en reprenant de nouveau la même série de nombres, les résultats qui s'ensuivaient étaient à chaque fois aléatoires. Il découvrit qu'en changeant un seul nombre de sa série initiale, il altérait radicalement et systématiquement les résultats qui s'ensuivaient.

Par pur hasard, il venait de découvrir qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la sensibilité aux conditions initiales.

Suite à ces travaux, Lorenz déduisit qu'il était impossible de faire des prévisions météorologiques adéquates à long terme. En fait, de très petites variations dans la température à un certain moment d'une journée quelconque peuvent faire varier considérablement la température de la journée suivante, et ces variations sont totalement imprévisibles. Dans un article aujourd'hui célèbre publié en 1963, il appelle cet effet l'effet papillon, c'est-à-dire que le simple battement d'ailes d'un papillon dans une zone atmosphérique instable peut affecter la température plusieurs milliers de kilomètres plus loin et plusieurs jours plus tard. On sait aujourd'hui qu'il est impossible de prédire la température plus de 2 semaines à l'avance et, même là, il peut y avoir des variations.

La métaphore du papillon



En 1972, Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée : « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par :

« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tempête au Texas ? ».

Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée à tort de façon causale : ce serait le battement d'aile du papillon qui déclencherait la tempète. Il n'en est rien ; Lorenz écrit en effet :


« De crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, "un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?", fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes :

* Si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce.

* Si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher. ».

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Traitement des arythmies cardiaques

Les troubles du rythme cardiaque ou arythmies sont une famille de maladies cardiaques. On trouve ainsi :

• Rythme sinusal : rythme cardiaque normal, c'est-à-dire piloté par le nœud sinusal avec conservation de la séquence «contraction des oreillettes »-« contraction des ventricules ».

• Troubles du rythme : rythme cardiaque non sinusal - la fréquence cardiaque est plutôt rapide et/ou irrégulière.

• Tachycardie : fréquence cardiaque rapide.

• Bradycardie : fréquence cardiaque trop lente.

A noter qu'il n'y a pas de normalité de la fréquence cardiaque. Celle-ci varie en permanence suivant l'heure de la journée, l'activité, l'état émotionnel, ... La tachycardie et la bradycardie sinusale ne deviennent anormales que si elles sont responsables d'une gêne.

Le but de l'utilisation de la théorie du chaos dans l'étude des arythmies cardiaques est d'essayer de comprendre les règles mathématiques sous-jacentes aux arythmies ventriculaires et auriculaires, qui sont une forme de chaos, pour ainsi tenter de prévenir ces arythmies.

Un des aspects essentiels de la théorie de chaos est que le développement du chaos dans une situation particulière (que ce soit la température ou l'arythmie cardiaque) dépend des conditions initiales. Donc, si chez un malade on observe un changement dans les conditions initiales, par exemple une extrasystole ventriculaire, elle provoquera alors une fibrillation ventriculaire, soit un état de chaos. Des mathématiciens travaillent assidûment au développement de règles mathématiques qui pourraient expliquer comment cela se passe de façon à nous permettre de donner une sorte de stimulus à un moment donné dans le but de changer la résultante chaotique et potentiellement prévenir une dégénération en arythmie cardiaque. Ce stimulus serait un stimulus artificiel et intelligent qu'on appliquerait à un moment critique suivant le premier battement. L'objectif est de voir un retour vers la situation normale.

Ce projet est encore à l'étape théorique, mais les développements sont prometteurs. Actuellement, les médicaments utilisés pour traiter ou prévenir les arythmies sont rarement spécifiques. Ils protègent jusqu'à un certain point, mais ils ont aussi des effets secondaires, causant des réactions néfastes. Si nous pouvions vraiment bien comprendre les aspects mathématiques qui expliquent comment le chaos survient au niveau cardiaque, on pourrait peut-être le prévenir.



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Dans mon coeur palpitent
Planètes et papillons
Je danse en chaos

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

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Une autre voix dans le chaos - Virus et entrelas

Un certain nombre de progrès dans le domaine de la santé ont été possibles grâce aux mathématiques. Ainsi, les biologistes utilisent la théorie des noeuds pour déjouer l'action des virus.

Il y a 150 ans, le mathématicien, physicien et astronome allemand Carl Friedrich Gauss inventait la théorie des noeuds, dans le but d'expliquer l'enroulement des fils électriques. Il était loin de se douter qu'à la fin du XXème siècle, les biologistes utiliseraient cette théorie dans l'espoir de contrer l'action des virus.

En fait, ce qui intéresse le plus les biologistes dans la théorie des noeuds est l'entrelacement des noeuds , du fait que les problèmes causés par un virus au sein de l'ADN leur ressemblent étrangement.

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Un noeud est l'entrelacement d'un ou de plusieurs brins de ficelle ou de cordes (le terme de cordage sera préféré dans le milieu maritime). Un noeud peut servir dans diverses utilisations:

* Attacher plusieurs cordes entre elles
* Attacher une corde à un objet
* Lier deux objets entre eux
* Donner de nouvelles fonctionnalités à la corde (augmentation de diamètre, aspect esthétique...)

Le noeud tient grâce au frottement de la corde que provoque les entrelacements du noeud. Les noeuds font l'objet d'une approche mathématique, la théorie des noeuds donc.

La théorie des noeuds est une branche de la topologie qui consiste en l'étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés.

Dans ce cadre, les mathématiciens s'intéressent à la classification des noeuds, à savoir si deux noeuds sont équivalents, si deux noeuds sont noués ou pas, ou encore, si un noeud est équivalent à son image en miroir.

Pour les aider dans ce travail, les mathématiciens représentent les noeuds à l'aide de diagrammes. On étudie les noeuds à trois, quatre croisements et plus. Les transformations comprennent, entre autres choses, le changement du sens des croisements. Là où il y a un fil qui passe par-dessus, on le fait passer en dessous de l'autre brin. Tout ça est mathématiquement calculable grâce à la théorie des noeuds.



L'entrelacement des noeuds

La théorie des noeuds s'est grandement développée dans les années 1930. Les mathématiciens ont commencé à étudier ce qu'on appelle les entrelas, un phénomène d'entrecroisements des noeuds beaucoup plus complexe à étudier mathématiquement que les entrecroisements de noeuds standards. Par exemple, si on coupe les brins d'un noeud et qu'on recolle les brins autrement au lieu de tout simplement modifier l'entrelacement, on peut transformer ainsi le noeud en entrela ou encore en un autre noeud complètement différent, complexifiant ainsi les croisements. Les divers entrecroisements ainsi obtenus ne sont pas nécessairement naturels.

Ces développements de la théorie des noeuds a toutefois permis de comprendre beaucoup de choses au sein de la structure de l'ADN.



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En biologie, un virus est une entité biologique qui nécessite une cellule hôte, dont il utilise les constituants pour se multiplier. Les virus sont des objets particulaires, infectieux, constitués au minimum d'un acide nucléique et de protéines.

Le mot virus, est issu du latin "virus, i (neutre)" qui signifie poison.

Il existe une grande diversité de virus. Tous les êtres vivants des trois domaines de la vie (Bacteria, Archaea, Eukaryota) peuvent être infectés par des virus. Il existe des virus de bactéries (les bactériophages), des virus d'Archaea, des virus d'algues (Phycodnaviridae), des virus de plantes, des virus fongiques, des virus d'invertébrés, des virus de vertébrés chez lesquels on trouve de nombreux agents pathogènes.



Les virus sont encore mal connus : de l'époque de Louis Pasteur (1880) à 1985, en 100 ans environ donc, seulement 1 700 virus ont été décrits.

Et 20 ans après, fin 2004, le huitième rapport du Comité international de taxonomie des virus en avait classé 6 247 : "Et l'on peut penser que ce nombre n'équivaut peut-être qu'à 1 % de l'ensemble", estime Claude Fauquet, spécialistes des virus affectant les végétaux (Danforth Plant Science Center, Saint-Louis, Missouri, USA).

Lorsqu'un organisme est envahi par un virus, celui-ci produit une enzyme qui va altérer la structure même de l'ADN des cellules. Des biologistes ont réalisé récemment que la nature fait exactement le même genre d'opération que ce que les mathématiciens font dans leurs études des entrelas. L'enzyme produit par un virus va couper un des brins d'ADN pour les recoller autrement, transformant le lien de l'ADN en entrela, similairement aux exercices mathématiques de la théorie des noeuds.



Les virus ne peuvent se multiplier qu’au sein de cellules vivantes, par réplication de leur acide nucléique. C’est l’interaction du génome viral et de la cellule hôte qui aboutit à la production de nouvelles particules virales. L’infection d’une cellule par un virus, puis la multiplication du virus peuvent se résumer en différentes étapes. Toutefois, après pénétration du virus dans la cellule, ces étapes peuvent différer selon la nature du virus en question et notamment selon qu’il s’agit d’un virus à ADN ou d’un virus à ARN.

Vivant ou non-vivant ?

Selon le critère généralement utilisé, en l'occurrence l'absence d'un métabolisme faisant intervenir des organes ou d'enzymes capable de produire de l'énergie, un virus n'est pas à considérer au sens strict comme un être vivant. On pourrait tout aussi bien, par exemple, décider de le considérer comme une variété de minéral ayant besoin d'un hôte vivant pour se reproduire.



Le problème : vivant ou non-vivant ? est d'autant plus délicat que les virus, à certains moments de leur cycle de développement, sont pour ainsi dire confondus avec leurs hôtes. En effet, les bactériophages passent une partie de ce cycle à l'état de simples séquences d'ADN intégrées dans le génome de la bactérie-hôte. Parfois, ces séquences virales "pirates" peuvent être transmises à la descendance de la bactérie, et être à l'origine d'une nouvelle souche de bactéries. L'intégration par la bactérie infectée d'un virus peut, en effet, conduire à l'intégration dans le génome bactérien de gènes de résistance, par exemple, à un antibiotique. Si l'avantage ainsi créé pour la bactérie est supérieur au danger créé par la présence du virus, la séquence d'ADN viral peut être conservée par la bactérie (organisme Procaryote).

Ceci est également valable pour les organismes Eucaryotes, et serait un mécanisme important de création des rétrovirus.

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Chose qui me ronge
Se Multiplie et grouille
Ni mort ni vivant

Une autre voix dans le chaos - Fibonacci, Fleurs et Fibbing

La célèbre suite de Fibonacci doit son nom au mathématicien italien Leonardo Pisano, mieux connu sous le pseudonyme de Fibonacci. Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, il décrit la croissance d'une population de lapins :

« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »

Ce problème est à l'origine de la suite de Fibonacci, dont le n-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au n-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :

* le premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
* les lapereaux ne sont pubères qu'à partir du deuxième mois ;
* chaque mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
* les lapins ne meurent jamais (ie. la suite de Fibonacci est strictement croissante).

Mathématiquement, et en évitant de poser une notation technique un peu trop sèche, la série de Fibonacci se présente comme suit :

On commence par additionner les chiffres 1 + 2, à partir desquels on obtient 3. La série se construit alors en additionnant tout nouveau chiffre obtenu avec le précédent :

1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, etc.

Donnant la série suivante :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

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La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement.

Un exemple de problème est celui apparu très tôt en Inde et connu sous le nom maatraameru (montagne de cadence), dans le travail du grammairien de Sanskrit Pingala, le Chhandah-shastra, (l'art de la Prosodie), 450 ou 200 av. JC). Le mathématicien Indien Virahanka en a donné des règles explicites au VIIIème siècle. Le philosophe Indien Hemachandra (c.1150) (et aussi Gopala) ont revisité le problème de manière assez détaillée. En Sanskrit en effet, Les voyelles peuvent être longues (L) ou courtes (C), et Hemachandra a souhaité calculer combien on peut former de cadences différentes d'une longueur donnée, chaque cadence étant définie par les longueurs des voyelles qui la constituent. Si la voyelle longue est deux fois plus longue que la courte, les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence :

1 C
2 L
3 CCC, CL, LC
4 CCCC, CCL, CLC, LL
5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC

Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n-1, ou L à une cadence de longueur n-2. Ainsi le nombre de cadences de longueur n est la somme des deux nombres précédents de la série.

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Nombre d'Or

D'autre part, cette série de nombres est reliée à un autre nombre très fameux, mythique même, le nombre d'or des grecs : (1 + racine de 5) sur 2

En effet, le nombre d'or peut aussi s'obtenir, par approximation, en divisant chacun des nombres de la série de Fibonacci par le nombre suivant, à partir du chiffre 5 :
5 / 8 = 0,625
8 / 13 = 0,615
13 / 21 = 0,619
21 / 34 = 0,618
34 / 55 = 0,618
etc.

Cela vient du fait que le terme de la suite de Fibonnaci tend en réalité vers le nombre d'or :



Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut par ailleurs être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci :



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Chez un grand nombre de plantes, le nombre de pétales des fleurs, l'agencement des feuilles, la disposition des graines, certaines particularités du pelage de certains fruits, entre autres choses, correspondent à ces nombres, comme c'est le cas avec les graines du tournesol ou la pelure de l'ananas. En fait, on a remarqué il y a fort longtemps que ces nombres jouaient un rôle important dans la nature, mais ce n'est que récemment qu'on a compris pourquoi ces nombres sont importants. La principale raison semble être une question d'efficacité maximale dans le processus de croissance des plantes.



Le tournesol, ou grand soleil, mot emprunté à l'italien tornasole, qui tourne avec le soleil, est une grande plante annuelle, appartenant à la famille des Astéracées (Composées), dont les fleurs sont groupées en capitules de grandes dimensions.

Chez les tournesols, on retrouve 34 courbes dans un sens et 55 dans l'autre. En fait, il existe 3 sortes de tournesols. Les nombres des 2 autres types sont : 55 et 89, et 89 et 144, nombres qui font partie de la série de Fibonacci. D'autre part, les feuilles autour des tiges d'une plante forme une spirale selon des angles dont la valeur correspond aussi aux nombres de Fibonacci, incluant même le nombre de tour de cette spirale.

On remarque ensuite que les graines de tournesol sont disposées suivant deux familles de courbes. Une première famille est courbée dans un sens et la deuxième famille est courbée dans l'autre sens. Si on compte ces courbes, on en découvre 34 dans un sens et 21 dans l'autre.

Un autre exemple végétal est l'ananas. La pelure est composée de deux séries de diagonales. Leur décompte indique qu'il a 13 diagonales dans une direction et 8 diagonales dans l'autre.



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Le nautile est un céphalopode marin, que beaucoup de gens appellent le nautilus doté d'une coquille en forme de spirale.



Le nautile se développe de la façon suivante : il crée et occupe une première chambre. Lorsque cette chambre devient trop serrée, il en crée une 2e adjacente dans laquelle il se déplace, et ainsi de suite. Toutes ces chambres sont créées les unes à la suite des autres dans le même angle. Le résultat de ce développement tout à fait naturel donne une spirale. Cette spirale s'appelle la spirale équiangulaire, un type de spirale qu'on retrouve chez environ 95 % des plantes sur la Terre. Et qui plus est, ces angles font parties de la suite des nombres de Fibonacci.

* * *

Revenons à la poésie.

Le "Fib" est un poème dont le troisième terme est égal à la somme des deux termes précédents, respectant la suite de Fibonacci.
Il comporte 20 syllabes et se décline en 6 vers structurés en 1/1/2/3/5/8.

Depuis que le scénariste de Los Angeles, Gregory Pincus a lancé la mode du "fibbing" sur son blogue, le phénomène a pris de l'ampleur ailleurs sur le web.

Sa structure intéressante le fait concurrencer le haiku en popularité, grâce à sa concision poétique.

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Elle
Danse
Ravie
Fleur d'été
Riant sous une pluie
De pétales ensoleillés

Une autre voix dans le chaos - Compter en Bibi

Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

Les premiers nombres s'écrivent :

décimal binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101

* * *

Le système hexadécimal est un système de numération utilisant la base 16.

Il utilise les 10 premiers chiffres arabes puis les 6 premières lettres de l'alphabet latin : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.
L'usage de précisement ces chiffres-là fut imposé mondialement par l'entreprise américain IBM qui commença à l'utiliser depuis 1963. Il est actuellement le standard reconnu.

décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
hexadécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
binaire 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000

Ce format est largement utilisé en informatique car il se convertit facilement avec le système binaire, qui est utilisé par les ordinateurs. Le système hexadécimal utilise jusqu'à quatre fois moins de chiffres que le système binaire pour représenter le même nombre.

La conversion de binaire en hexadécimal se fait en regroupant les chiffres (les bits) quatre par quatre, ou inversement en remplaçant chaque chiffre hexadécimal par 4 chiffres binaires :
binaire 1010110101010110011110111
regroupé par 4 1 0101 1010 1010 1100 1111 0111
regroupé en hexadécimal 1 5 A A C F 7
hexadécimal 15AACF7

La conversion avec le système décimal ne présente aucune difficulté particulière. Ainsi 15AACF7 se convertit en calculant

1×16^6 + 5×16^5 + 10×16^4 + 10×16^3 + 12×16^2 + 15×16^1 + 7×16^0 = 22719735.

L'hexadécimal possède donc le double avantage de représenter par chaque chiffre exactement la moitié d'un octet et d'avoir comme puissances naturelles les préfixes binaires Méga-, Téra-, Exa- et Yotta- (étant seize à la puissance de cinq, dix, quinze et vingt respectivement). Les multiples binaires intermédiaires : kilo-, Giga-, Péta- et Zetta- sont respectivement 0x400 unités, 0x400 Mebi, 0x400 Tebi et 0x400 Exbi.

* * *

Le chanteur et humoriste Boby Lapointe avait inventé en 1968 un système hexadécimal, appelé système bibi-binaire à la fois drôle et cohérent.

La numération Bibi est une application du système hexadécimal d'usage courant en informatique. La description de cette numération est parue initialement dans 'Les Cerveaux non-humains', et on la trouve aussi dans 'Boby Lapointe' de Huguette Long Lapointe.



Pourquoi Bibi ?

Parce que seize peut s'écrire 2 exposant 2 exposant 2 ; comme on parle de binaire pour la base 2, Boby Lapointe estime qu'on pourrait parler de « Bi-Binaire » pour la base 4, et de « Bi-Bi-Binaire » pour la base 16, terme qu'il abrège en « Bibi ».

À partir de ce postulat, Boby Lapointe inventa la notation et la prononciation de seize chiffres. À l'aide de quatre consonnes et quatre voyelles, on obtient les seize combinaisons nécessaires :

HO, HA, HE, HI, BO, BA, BE, BI, KO, KA, KE, KI, DO, DA, DE, DI.

Pour donner un nombre, il suffira d'énumérer les chiffres (hexadécimaux) qui le composent.

Exemple : En Bibi, l'an 2000 se serait appelé BIDAHO.



Et les nombres négatifs ?

Contrairement à la numération utilisée dans les ordinateurs, le Bibi représente les nombres négatifs en complément à 1 et non à 2.

Ainsi :

* +7 s'écrit 0 0111
* -7 s'écrit 1 1000

et leur addition donnera :

* 1 1111 (une des 2 représentations de « zéro » dans ce système ; « zéro » y est aussi représenté par 0 0000).

Sur les ordinateurs contemporains, en notation binaire classique, -7 s'écrit 1 1001 (on propage le « 1 » dans les bits supérieurs); et l'addition de -7 et 7 donnera 0 0000. Il n'y a donc besoin que d'une seule notation pour le chiffre zéro.

Exercice : déclinez votre date de naissance (jj/mm/aaaa) en Bibi.

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

Une autre voix dans le chaos - De si grands nombres

En mathématiques, grand nombre n'a pas de sens bien défini.

Quand on parle d'une quantité colossale, on utilise généralement les mots "million" ou "milliard" qui représentent respectivement les nombres 1 000 000 et 1 000 000 000. Pourtant ces nombres sont encore insignifiants comparés à ceux qui vont suivre.

Si nous prenons un million de milliards nous obtenons un billiard. Par exemple, la distance qui nous sépare du centre de notre galaxie est de 256 billiards de kilomètres.
Ce qui n'est pas très grand, si on la compare à la distance qui nous sépare de la Grande Ourse, environ 18 trilliards de kilomètres soit 18 mille milliards de milliards de kilomètres.

Et ce n’est rien encore, puisque nous n’en sommes qu’à des nombres de l’ordre d’un 1 suivi de 22 zéros. Il y a en effe plus grand, beaucoup plus grand. En voici une liste :

Million (1suivi de 6 zéros)

Milliard (1suivi de 9 zéros)

Billion (1suivi de 12 zéros)

Billiard (1 suivi de 15 zéros)

Trillion (1 suivi de 18 zéros)

Quatrillion (1 suivi de 24 zéros)

Quintillion (1 suivi de 30 zéros)

Sextillion (1 suivi de 36 zéros)

Septillion (1 suivi de 42 zéros)

Octillion (1 suivi de 48 zéros)

Nonillion (1 suivi de 54 zéros)

Décillion (1 suivi de 60 zéros)

Undécillion (1 suivi de 66 zéros)

Duodécillion (1 suivi de 72 zéros)

Tredécillion (1 suivi de 78 zéros)

Quattuordécillion (1 suivi de 84 zéros)

Quindécillion (1 suivi de 90 zéros)

Sexdécillion (1 suivi de 96 zéros)

Septendécillion (1 suivi de 102 zéros)

Octodécillion (1 suivi de 108 zéros)

Novemdécillion (1 suivi de 114 zéros)

Vigintillion (1 suivi de 120 zéros)

Centillion (1 suivi de 600 zéros)

On remarquera au passage que les Américains ne connaissent pas les terminaisons en "-lliard". De fait, la liste qui précède est pour eux décalée. Une illustration connu porte sur le mot "milliardaire", qui se traduit par "billionnaire".

* * *

Voici une liste de quelques grands nombres connus :

* 6.022x10^23 est une approximation du nombre d'Avogadro, nombre d'éléments dans une mole : il correspond au nombre d'atomes de Carbone-12 dans 0,012 kg (soit 12 grammes, unité utilisée en chimie) de Carbone-12.
* 10^26 mètres est le rayon de l'Univers observable (27 chiffres)
* 10^71 est le nombre de Folkman, le plus grand nombre produt par les sciences expérimentales. La recherche théorique en a par contre produit de bien plus grands, comme nous verrons ci-après.
* 10^120 est le nombre de Shannon, une approximation du nombre de parties possibles aux échecs.



* Le Nombre de Graham G : un entier naturel connu pour être le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration mathématique. Il est beaucoup trop grand pour être écrit grâce à la notation scientifique et nécessite une notation permettant d'écrire de très grands nombres. Toutefois, il est possible d'obtenir ses derniers chiffres sans trop de difficulté (les dix derniers sont ...2464195387).

* * *

Un grand nombre amusant et depuis très connu vient des années 40 lorsque Edward Kasner publie le livre "Mathematics and the Imagination" dans lequel apparaît le mot "Googol". Ce mot n'aurait pas été inventé par Kasner lui-même : il l’aurait en fait repris de son neveu, âgé de 9 ans à l’époque.

Le Googol est un 1 suivi de 100 zéros. Nous sommes ici encore en dessous du Septendécillion qui est plus grand.

Vient le Googolplex : un 1 suivi de Googol zéros.
Soit un 1 suivi de 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 zéros.

En supposant qu’on écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il faudrait environ 100 quindécillions d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années.

De fait, puisque aucune quantité physique ne peut atteindre ce nombre (nous avons vu que le plus grand nombre connu en terme de grandeur physique était le nombre de Folkman), le googolplex ne sert à rien.

On notera que la société Google s’est inspirée de ce nombre pour nommer son moteur de recherche, le plus utilisé actuellement.



* * *



Terminons par un nombre plus modeste, asaṃkhyeya.
Asaṃkhyeya est le nom bouddhiste désignant 1 suivi de 140 zéros. En sanskrit, ce mot signifie littéralement "au de-là des nombres, innombrable".

Un asaṃkhyeya est une période de temps incommensurable : si une montagne en fer était touché une fois par siècle par une étoffe de mousseline, cette montagne serait érodée avant qu'un asamkhyeya n'arrive à son terme.

* * *

Comptant sans arrêt
Etoiles et grains de sable
La tête me tourne

Je tombe dans le sommeil
Nombres plus grands que le monde

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

Une autre voix dans le chaos - Mille grues dans le ciel

Théorème de Morley

Voici l'énoncé d'un étonnant théorème découvert en 1898 par Franck Morley :

Soit ABC un triangle quelconque.
On trace les trissectrices de ses angles (droites qui partagent un angle en 3 angles de même mesure).
Leurs intersections se coupent pour former un triangle équilatéral MNP.

* * *

L'origami (折り紙, de oru, plier, et de kami, papier) est le nom japonais de l'art du pliage du papier.



L'origami utilise une feuille carrée, que l'on ne découpe pas.

Il existe toute une liste de techniques de base. À partir de ces plis élémentaires, vallée ou montagne, un « solfège » de pliage répertorie les figures dites de base (base de l'oiseau, base de la bombe à eau, etc.). L'origami peut prendre des formes aussi simples qu'un chapeau ou qu'un avion en papier, ou aussi complexe qu'une représentation de la Tour Eiffel, une gazelle ou un stégosaure, qui demandent plus d'une heure et demie de travail. Parfois les figures les plus difficiles sont réalisées dans du papier métallisé plutôt que du papier ordinaire, car cela permet de faire plus de plis avant que le support ne soit trop abîmé pour être plié une nouvelle fois.

L'origami n'est pas toujours sensé représenter un animal, une plante ou un objet mais peut aussi représenter des formes géometriques simples ou complexes : ce sont les origamis dits 'modulaires' ou les 'rings'. Ils sont généralement composés du même pliage répété plusieurs fois de base et s'imbriquent les uns dans les autres pour donner la forme finale.

* * *




Une des représentions d'origami les plus célèbres est la grue du Japon. La grue est un animal important pour le Japon (un satellite porte même le nom de Tsuru (grue)). Une légende dit même : Quiconque plie mille grues de papier verra son vœu exaucé.

La grue d'origami est devenue un symbole de paix en raison de cette légende, et d'une jeune fille japonaise appelée Sadako Sasaki. Sadako fut exposée, enfant, au rayonnement du bombardement atomique d'Hiroshima. Elle devint alors hibakusha, une survivante de la bombe atomique. Ayant entendu la légende, elle décida de plier mille grues pour guérir. Elle mourut de leucémie en 1955, à l’âge de 12 ans, après avoir plié 644 grues. Ses compagnons de classe plièrent le nombre restant et elle fut enterrée avec la guirlande de mille grues.

Ses amis érigèrent une statue en granit représentant Sadako dans le parc de la paix d’Hiroshima : une jeune fille se tenant les mains ouvertes, un vol de grues de papier au bout des doigts. Chaque année, la statue est ornée de milliers de guirlandes de mille grues (Oritsuru).

Depuis, il est entré dans la tradition de plier mille grues en papier lorsqu'un proche ou un ami est gravement malade. Au delà de la superstition, cet acte procure courage et volonté au malade, qui se sent ainsi entouré.

Le conte de Sadako a été raconté dans beaucoup de livres et de films. Dans une version, Sadako écrit un haiku dont le sens est le suivant :

J'écrirai la paix sur tes ailes et tu voleras de par le monde pour que plus jamais les enfants ne meurent ainsi.



* * *

Divers exercices de géométries peuvent être issus de la pratique de l'origami.

Voici un exemple simple : Soit un triangle de papier ABC (on voit qu'on peut se permettre des détournements de la règle du papier carré). Effectuer la trisection de l'angle A (comme on plie une lettre en trois). Recommencer avec B et C. Et surprise ! on vient de découvrir expérimentalement le théorème de Morley.

* * *

Mille grues s'envolent
De ses douces mains fragiles
Chambre d'hôpital

Je vous supplie à genou
D'exaucer enfin son voeu

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

Hommage au Toinounounénet du jeune et beau Népomucène

(Presque) tous ceux qui l'écoutent adorent. Alors ?

Une autre voix dans le chaos - Jouons toujours

Le Rubik's cube est un casse-tête inventé en 1974 par le hongrois Ernő Rubik, et qui s’est rapidement répandu sur toute la planète au cours des années 1980.

C’est un casse-tête géométrique à trois dimensions composé de 27 petits cubes (en réalité 26, car il n'existe pas de cube central) qui, à première vue, paraissent pouvoir se déplacer sur toutes les faces et ont l'air libres de toute attache sans tomber pour autant. Un système d'axes, dont le mécanisme a été breveté par son auteur, Ernő Rubik, se cache au centre du cube.

* * *



Le cube de Rubik est un cube dont chaque face est divisée en neuf cubes miniatures et peut tourner indépendamment des autres. En fait le cube est composé d'un axe central portant les 6 faces des cubes centraux, de 8 cubes de coin à 3 faces visibles et de 12 cubes d'arête à 2 faces visibles. À l'état final, chaque face du cube de Rubik est d'une couleur homogène et différente des autres, mais la rotation indépendante de chaque face provoque un mélange des petits cubes de coin et d'arête.

Le but du jeu est, après avoir mélangé les six faces, de manipuler le cube pour tenter de lui rendre son apparence d'origine, avec les six faces de couleurs unies. Les couleurs des faces : blanc en face de jaune, vert en face de bleu, orange en face de rouge.

Il en est sorti de nombreuses variantes de forme (dodécaèdrique, étoilé, sphérique, à angles rabattus...), de taille (2×2×2, 4×4×4...) et de décoration (par exemple sous forme de calendrier, imposant un exercice quotidien pour les mettre à la bonne date).

La pratique du Rubik's Cube est le speedcubing et consiste à la résolution du cube en un temps le plus court possible.

Il existe différentes techniques, consistant à réaliser des algorithmes comportant une dizaine de mouvements. Les techniques les plus utilisées consistent à construire la "croix" d'une face avant de finir cette face en y associant les bords de la tranche intermédiaire. Puis on résout la dernière face en orientant puis permutant les cubes qui la constituent. Ces méthodes sont nommées "Layer by Layer" pour "couche par couche" et la plus connue est la méthode Fridrich, inventée par Jessica Fridrich et améliorée par la communauté des cubeurs.

Le temps le plus rapide jamais réalisé officiellement est de 10,48 secondes, par l'américain Toby Mao lors du championnat des Etats-Unis le 6 Août 2006. Quelques personnes ont aussi réussi à résoudre un Cube 20x20x20 généré par ordinateur. La France organise tous les ans un championnat de France à Paris (hôtel Novotel du Châtelet).

* * *



Résolution

Le nombre de positions différentes est de 8! x 3^7 x 12! x 2^10 = 11 × 7^2 × 5^3 × 3^14 × 2^27 = 43 252 003 274 489 856 000, dont seules 4 096 correspondent au cube fini.

La solution n'est effectivement pas unique pour un cube de Rubik original. Chaque carré central de chaque face peut prendre quatre positions différentes (rotation sur sa face d'1/4 de tour) sans influencer le résultat visuel final du cube. Quatre positions pour six faces/carrés différents donnent ainsi 46 = 4 096 solutions possibles. Des versions modifiées du cube original, par exemple avec un motif imprimé sur ses surfaces, nécessitent, elles, une position spécifique de ces carrés centraux qui rend la solution unique.

On peut tenter de chercher la solution au hasard. La légende veut qu'Ernő Rubik lui-même y ait passé un mois.

On peut manipuler le cube méthodiquement, selon des séquences de mouvements prédéfinies qui permettent de remonter le cube progressivement, c'est-à-dire de déplacer et d'orienter les petits cubes par étapes, sans perdre les fruits de son travail préalable. En voici deux :

* Première méthode, dite "méthode couche par couche" : C'est la plus intuitive et la plus simple à mettre en oeuvre. La résolution nécessite en moyenne un peu plus de 100 mouvements.

1. Réaliser une face, par exemple la face supérieure bleue,
2. Placer la première couronne (placer correctement les cubes entourant cette face) et les cubes centraux (jaune, orange, blanc et rouge),
3. Puis la deuxième couronne (la rangée horizontale à mi-hauteur),
4. Déplacer les cubes-arête de la face du bas à leur place et les positionner correctement,
5. Déplacer les cubes-sommet à leur place,
6. Enfin les tourner sur eux-même.

* Seconde méthode : Intuitive, elle aussi.

1. Réaliser une face, par exemple la face supérieure rouge,
2. Réaliser la face OPPOSEE à celle déjà correcte (ici la face orange), pour cela il faut d'abord placer correctement tous les coins, puis les orienter correctement, et enfin mettre les bords,
3. Tourner le centre du cube de manière à bien placer tous les centres (à ce stade il ne reste plus que 4 bords à bien placer),
4. Par échanges, ammener chaque bord à sa place,
5. Enfin orienter ces 4 bords correctement.

(On pourra noter que cette méthode, après quelques aménagements, permet de reconstituer correctement un rubik's cube 4x4x4, 5x5x5, etc...)

* Troisième méthode, de Lars Petrus : C'est une approche différente de la première et de la seconde, elle est moins automatisée, mais a l'avantage de conserver au maximum les cubes bien placés. La résolution nécessite en moyenne 60 mouvements.

1. Réaliser un "petit cube" de dimensions 2x2x2 (constitué de 3 couleurs),
2. Etendre ce "petit cube" à un parallélépipède 2x2x3 (constitué de 4 couleurs), sans jamais détruire le "petit cube",
3. Effectuer une etape intermédiaire de réarrangement, qui consiste à afficher deux croix sur les 2 faces restantes,
4. Etendre l'objet 2x2x3 à un objet 2x3x3 (c'est à dire deux couches du cube complet), sans jamais détruire ce qui a été fait auparavant,
5. Placer et orienter les 4 cubes sommets restants,
6. Et enfin, placer les 4 arêtes restantes.

Notes :

* Si un petit cube est à sa place, cela ne signifie pas nécessairement que les couleurs sont à leur bonne place. Par exemple un cube-arrête a deux positions de couleur possibles et un cube-sommet trois.
* Chaque étape utilise des algorithmes spécifiques.

Il existe en fait de nombreux algorithmes de solutions. Certains spécialistes y ont même consacré leurs thèses universitaires. Des sportifs participent à des compétitions et sont capables de rétablir un cube en moins de 20 secondes grâce à plusieurs dizaines d'algorithmes !

Une question fondamentale que l'on peut se poser sur le cube est le nombre minimal de mouvements nécessaires pour passer d'une position quelconque du cube à une autre. Un algorithme qui répondrait à cette question, en décrivant une méthode pour résoudre le cube à partir de n'importe quelle position initiale en un nombre minimal de mouvements, serait appelé "algorithme de Dieu".

Cette question se décline en deux versions à propos du cube de Rubik, selon ce que l'on choisit d'appeler "mouvement élémentaire". Si un mouvement élémentaire est un quart de tour d'une face du cube, étant donné une position, on peut faire 12 mouvements élémentaires. Si un mouvement élémentaire est au choix un quart de tour ou un demi tour d'une face du cube, étant donné une position, il existe 18 mouvements élémentaires.

On sait pour l'instant que l'algorithme de Dieu nécessite au minimum 20 mouvements si on autorise les demi-tours, 26 sinon et qu'il nécessite au maximum 29 mouvements si on autorise les demi-tours, 40 sinon.

* * *

Six couleurs, un cube
Tant de possibilités
Pour mes mains qui tremblent

Me voilà à la recherche
De l'algorithme de Dieu

Une autre voix dans le chaos - Jouons encore

Puissance 4 est un jeu de société combinatoire abstrait au tour par tour, edité pour la première fois en 1974 par MB (détenu de nos jours par Hasbro) et qui se joue à 2.

Le but est de faire une ligne de 4 pions sur une grille comptant 6 rangées et 7 colonnes, les parties durant en général une dizaine de minutes.

L. Victor Allis a étudié ce jeu dans sa thèse intitulée A Knowledge-based Approach of Connect-Four (1989). On sait maintenant que la personne qui commence a toujours la possibilité de gagner. Un programme informatique appelé Velena gagne ainsi à chaque fois s'il commence.

* * *



Règle

Le plateau de jeu est une grille verticale. Lorsque l'on glisse un pion dans une colonne, le pion descend jusqu'en bas.

Chaque joueur dispose de 21 pions d'une couleur (jaune ou rouge). Tour à tour les joueurs posent un pion dans une colonne. Celui qui gagne est celui qui aligne le premier quatre pions de sa couleur.

Stratégies

Le jeu peut sembler simpliste au premier abord, car il est possible de prévoir, sans l'aide d'un ordinateur, un grand nombre de coups à l'avance pour ainsi gagner la partie. Cependant, il faut compter avec les décisions de l'adversaire.

Le principe de base est de placer les jetons de préférence dans la colonne centrale. Tout jeton dans celle-ci peut former un grand nombre de lignes dans diverses directions en longueur, et aussi retirer du même coup cette possibilité à l'adversaire.

Par la suite, la technique la plus simple est de former une ligne double gagnante : deux lignes à qui il manque un jeton dans la même colonne pour former une ligne de 4, et donc ces deux jetons manquants sont l'un au dessus de l'autre. Un piège de base consiste à faire une ligne de 3 horizontalement sur la première ligne avec une colonne libre aux deux bouts.

Une autre technique qu'il est nécessaire de maîtriser consiste à bloquer des colonnes dans le sens que, si l'adversaire y met un jeton, vous gagnez:

* soit vous formez une ligne de 4 au coup suivant,
* soit vous formez un double ligne qui vous permet de gagner rapidement.

Les joueurs plus avancés s'appuient sur la parité (paire ou impair) de la rangée du jeton manquant pour faire une ligne de 4. Chaque colonne a un nombre pair de jetons. Ainsi, il est possible de forcer le gain dans certaines conditions. Par exemple, si votre ligne gagnante est sur la colonne 1 (tout à gauche) et sur une ligne impaire, et que toutes les autres colonnes sont paires (ce qui équivaut à avoir joué un nombre pair de jetons, donc à ne pas avoir commencé la partie), alors le joueur va remplir les autres colonnes. Supposons que vous l'empêchiez de faire une ligne gagnante dans ces autres colonnes, alors il devra jouer dans la colonne 1, et pas vous.

En conclusion, si vous commencez et que vous forcez (ou qu'on vous force), à jouer dans une colonne précise, alors vos jetons seront sur des lignes impaires. Donc essayez de faire des lignes de 3 dont le jeton manquant est sur une ligne impaire. Inversement, si vous ne commencez pas, sur des lignes paires.

* * *

Des jaunes, des rouges
Pissenlits, coquelicots
Je joue, danse et tombe

Dans un vaste champ de fleurs
Qui s'élèvent et montent au ciel

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

Tableau d'honneur

Il a eu son concours, et en tête du tableau qui plus est !
Bravo à lui !
Hourra ! Hourra ! Hourra !

Une autre voix dans le chaos - Jouons ensemble

La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de stratégie tels qu’on en trouve en recherche opérationnelle et en économie. Elle étudie les situations où les choix de deux protagonistes - ou davantage - ont des conséquences pour l’un comme pour l’autre. Le jeu peut être à somme nulle (ce qui est gagné par l’un est perdu par l’autre, et réciproquement) ou, plus souvent, à somme non-nulle. Des exemples de jeu à somme nulle sont ceux des jeux de Nim, ou celui du pierre-feuille-ciseaux.

La théorie des jeux étudie les comportements - prévus, réels, ou tels que justifiés a posteriori - d’individus face à des situations d’antagonisme, et cherche à mettre en évidence des stratégies optimales. Des situations apparemment très différentes peuvent parfois être représentées avec des structures d’incitation comparables, et constituant autant d’exemple d’un même jeu.

Elle s’applique à des situations où des joueurs jouent sciemment alors qu’ils ont des buts au moins partiellement antagonistes (elle ne s’applique donc pas aux situations de pleine coopération, mais à la compétition ou à sa variante plus fréquente que l’on nomme la coopétition). Elle ne concerne pas les situations de jeu contre une nature dépourvue de buts, ne dressant pas de plans, situations où il y aurait donc en fait qu’un seul joueur.

* * *

Les jeux de Nim sont des jeux très courants, de stratégie pure, à deux joueurs. Ces jeux, dont il existe d'innombrables variantes, se jouent avec des graines, des billes, des jetons, des allumettes ...

Les origines sont probablement très anciennes. Ils sont signalés en Chine sous le nom de fan-tan et connus en Afrique sous le nom tiouk-tiouk. Le nom actuel (tiré du radical allemand nim qui signifie prendre) a été donné par le mathématicien anglais Charles Leonard Bouton en 1901.

Chaque jeu se joue à deux et c'est à chacun son tour de jouer. Le hasard n'intervient pas et des règles précises fixent le cours du jeu. Il s'agit en général de déplacer ou de prendre des objets et celui qui prend (ou ne prend pas) le dernier objet est vainqueur.

Les jeux de Nim sont des jeux de duel à somme nulle (deux joueurs, un vainqueur et un perdant, pas d'égalité possible). Dans tous les cas, le nombre de cas de figures est fini et une stratégie optimale de gain existe, basée sur la reconnaissance de positions intermédiaires gagnantes.

Une version basique de ce jeu utilise un seul tas d'objets. Chaque joueur à tour de rôle enlève 1, 2 ou 3 objets. Le vainqueur est celui qui peut jouer en dernier. Pour cet exemple, la stratégie est de laisser à chaque fois - si on le peut - un nombre d'objets multiple de 4. On constate alors que l'adversaire ne pourra pas en faire autant. Dans la variante de cette version où celui qui prend le dernier objet perd, la stratégie est alors de laisser un nombre d'objets congru à 1 modulo 4 (c'est à dire : 1, 5, 9, 13...) C'est alors un bon exercice d'apprentissage des divisions avec reste.

* * *



Pierre-feuille-ciseaux est un jeu d'enfants, appelé également « papier-caillou-ciseaux » ou « chifoumi » (en France), « roche-papier-ciseaux » (au Québec), « pierre-papier-ciseaux » (en France et Belgique), « feuille-caillou-ciseaux » (en Suisse) ou « jankenpon » (au Japon). Il existe de nombreuses variantes régionales.

Les deux joueurs choisissent simultanément un des trois coups en le symbolisant de la main:
- pierre
- feuille
- ciseaux

De façon générale, la pierre bat les ciseaux (en les émoussant), les ciseaux battent la feuille (en la coupant), la feuille bat la pierre (en l'enveloppant). Ainsi chaque coup bat un autre coup, fait match nul contre le deuxième (son homologue) et est battu par le troisième.

Dans certaines de ses variantes, on voit apparaître de nouveaux symboles, comme celui du puits :

Le puits bat la pierre et les ciseaux (en les faisant tomber au fond) et est battu par la feuille (qui le recouvre). Dans cette variante, le puits et la feuille l'emportent dans deux cas sur quatre tandis que la pierre et les ciseaux seulement une fois sur quatre. Cependant, les ciseaux sont les seuls à l'emporter sur la feuille ; et comme par ailleurs, entre la pierre et le puits, on note que chacun des deux a les mêmes résultats contre feuille et ciseaux, mais que puits l'emporte sur pierre, l'équilibre de Nash du jeu consiste à ne jamais jouer pierre, et à faire comme si le jeu était puits-feuille-ciseaux.

* * *

Jouons donc ensemble
Je suis pierre et toi ciseaux
Lui enfin la feuille

Quel équilibre entre nous ?
Nul ne gagnera jamais

Une autre voix dans le chaos - Les paris sont ouverts

Le Pari de Pascal est le nom donné a un passage des Pensées de Blaise Pascal où il met à plat le gain que l'on peut avoir en croyant en Dieu. Le but de son exercice est probablement de convaincre deux de ses contemporains qui prisent beaucoup le milieu du jeu, et seront plus accessibles à ce genre d'argument qu'à des considérations de théologie pure.

Le pari de Pascal peut se résumer ainsi :

	Dieu existe	Dieu n'existe pas
Vous pariez sur l'existence de Dieu	Vous allez au paradis (-a +∞)	Vous retournez au néant (-a +0)
Vous pariez sur l'inexistence de Dieu	Vous allez en enfer (+a -∞)	Vous retournez au néant (+a +0)

Il en déduit que, ne pouvant départager l'existence ou non de Dieu, ses deux hypothèses ont la même probabilité. Il en découle que croire en Dieu serait une solution statistiquement plus avantageuse.

On reconnaît ici un type de présentation qui sera plus tard celui de la théorie des jeux (à ceci près qu'on étudie ici une liste de cas, et non la réaction d'un adversaire qui cherche par principe à vous contrer).

* * *



Lecture par le minimax

Une explication peut être faite en termes de minimax, comme pour le poker ou l'inférence bayésienne. La stratégie "minimax" consiste à MINimiser la perte MAXimale. Ici, personne ne peut démontrer si Dieu existe ou pas, et pourtant vous, ami libertin joueur de cartes, vous êtes embarqué, êtes obligé de parier.

Le meilleur pari est celui qui minimise la perte maximale de chaque ligne, c'est à dire :

* ligne 1, vous pariez sur l'existence de Dieu, la perte maximale (-a+0) = -a
(-a = privation de plaisirs dûs à une vie vertueuse, 0 = inexistence du paradis et de l'enfer)
* ligne 2, vous pariez sur l'inexistence de Dieu, la perte maximale (+a-∞) = -∞
(+a = plaisirs terrestres dont vous avez bien profité, -∞ = une éternité de souffrance car vous allez en enfer)

Bilan : le MINIMUM des pertes (-a et -∞) est -a. Où se trouve ce -a ? sur la ligne 1, celle où vous pariez sur l'existence de Dieu. Donc vous, libertin rationnel joueur de cartes, en pariant sur l'existence de Dieu vous minimisez votre perte maximale, (-a car vous aurez parié sur l'existence de Dieu, vous vous serez privé des plaisirs terrestres), c'est votre stratégie gagnante, il n'y en a pas d'autre.

* * *

Paris les plus fous
Ceux que l'on fait quand on n'a
Plus rien à perdre

Une autre voix dans le chaos - De zéro à l'infini

1 = 1
1 = (-1) + 2
1 = (-2) + 3
1 = (-3) + 4
1 = (-4) + 5
...
Et ainsi de suite...

En ajoutant membre à membre toutes ces égalités, nous obtenons :
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + 4 + (-4) + 5 + ...

Dans l'expression de droite, tous les termes s'éliminent deux à deux, soit :
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 0

L'expression de gauche, composée d'une somme infinie de termes égaux à 1, tend vers l'infini.
Ainsi 0 est égal à l'infini.

Et pourtant 0 n'est pas égal à l'infini.

* * *

Zéro, l'infini,
Ont une chose en commun :
Ils n'existent pas.

Une autre voix dans le chaos - L'infini de Moebius

Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner comme le montre le schéma ci-dessous.



Il suffit d'utiliser une longue bande de papier, de lui faire subir une torsion d'un demi-tour puis de coller les deux extrémités. On découvre alors une surface ayant deux propriétés inattendues : cette surface possède une seule face et un seul bord. En mathématiques on parle de surface non orientable.

Si l'on coupe le ruban en deux dans le sens de la longueur, on obtient un anneau unique, vrillé, mais qui possède deux faces distinctes et deux bords distincts. Si on le recoupe dans le sens de la longueur, on obtient... deux anneaux distincts, vrillés et entortillées l'un sur l'autre.

* * *

Maurits Cornelis Escher a fait de nombreuses études sur le ruban de Möbius.



Une version schématisée du ruban de Möbius est utilisée comme logo des matières recyclables depuis la première journée de la Terre en 1970. La boucle Möbius indique qu'un produit peut être recyclé et aussi qu'il peut être fait de matériaux recyclés. Il s'agit en fait d'un ruban à trois demi-tours.



* * *

Je marche sans cesse
Sur cette route sans fin
Ignorant vers où

Sachant bien que tout cela
Ne s'arrêtera jamais

* : Le proverbe soviétique du jour est une idée inspirée par Fabulous.

Une autre voix dans le chaos - Abduire

Il existe trois mécanismes de raisonnement: la déduction, l’induction et l’abduction.
En déduction, un ensemble de propositions initiales (les prémisses) ainsi qu’un ensemble de règles sont utilisés pour inférer un ensemble de conclusions.
En abduction par contre, ce sont les conclusions et les règles qui sont utilisees pour retrouver les prémisses desquelles découlent les conclusions.
En induction enfin, premisses et conclusions sont utilisées pour inferer l’ensemble des règles qui permettent de passer des premières aux secondes.

Contrairement à l'induction et à la déduction, l'abduction est le seul mode de raisonnement par lequel on peut aboutir à des connaissances nouvelles :

Ainsi, afin de comprendre un phénomène surprenant, on introduit une règle à titre d'hypothèse afin de considérer ce résultat comme un cas particulier tombant sous cette règle. En d’autres termes : dans le cas d’une déduction on tire une conclusion « q » d’une prémisse « p » alors que le raisonnement abductif consiste à expliquer « q » par « p », considéré ici comme une hypothèse explicative.

Le philosophe américain Pierce formalisa le premier cette idée d'abduction. Le sémioticien Umberto Eco a par la suite appelé ce procédé la « méthode du détective ». A juste titre, l'abduction est donc le mécanisme de raisonnement caché derrière le processus de théorisation scientifique.

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"Pour Peirce, le raisonnement par abduction est typique de toutes les découvertes scientifiques "révolutionnaires".

Ex. Kepler (...) Le fait est que le scientifique n'a pas besoin de dix milles preuves inductives. Il émet une hypothèse, parfois hasardeuse, très semblable à un pari, et il la soumet à un essai. Tant que l'essai donne des résultats positifs, il a gagné.

or un enquêteur n'agit pas autrement. Si l'on relit les déclarations de méthodes de Sherlock Holmes, on découvre que lorsque le détective (et avec lui Conan Doyle) par le de Déduction et d'Observation, il pense en réalité à une inférence similaire à l'Abduction de Peirce (...)

Il n'y a pas de différence (au plus haut niveau) entre la froide intelligence spéculatrice et l'intuition de l'artiste. Il y a quelque chose d'artistique dans la découverte scientifique et quelque chose de scientifique dans ce que les naïfs nomment les "géniales intuitions de l'artiste". Ce qu'elles ont en commun : le bonheur de l'Abduction."

- Umberto Eco, De Superman au surhomme

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Contrairement à ce que l'on pourrait croire, science et art ont donc ceci de commun : l'abduction, comme source de créativité, l'acte créatif pouvant être considéré comme le fruit d'une volonté de puiser quelques informations diverses et de les réorganiser d'une manière nouvelle.

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Si différents mais
Plus semblables qu'on ne croit
Voilà science et art

Unis par le même génie
celui dont naît le Nouveau