Une autre voix dans le chaos - Du vol des feuilles mortes

En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter. C'est le cas de la conjecture de Syracuse, également connue sous les noms de problème de Collatz, Kakutani, ou Ulam.

Prenez un nombre entier:
- Si ce nombre est pair, divisez-le par 2
- Si ce nombre est impair, prenez le triple et ajoutez 1

Vous obtenez un autre nombre entier, alors recommencez :
- Si ce nouveau nombre est pair, divisez-le par 2
- S'il est impair, prenez le triple et ajoutez 1

Vous obtenez encore un autre nombre, alors recommencez et ainsi de suite.

La conjecture de Syracuse dit que, à la fin, on obtient toujours 1.

* * *

La conjecture de Syracuse concerne la suite de Syracuse définie de la manière suivante :



Le calcul de la suite pour N = 7 : (7 , 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1) laisse déjà entr'apercevoir que la suite peut prendre des valeurs assez grandes avant de retomber à 1.

Voici un autre exemple, avec le nombre 15 :



Avec le nombre 127 :



L'observation graphique de la suite pour N = 15 et N = 127 montre que la suite peut monter assez haut avant de redescendre. C'est de cette observation qu'est né le vocabulaire sur l'étude de cette suite. En observant ces graphiques, on a l'impression d'y voir la trajectoire d'une feuille emportée par le vent.

On parle donc du vol de la suite. On définit alors :

* le temps de vol: c'est le plus petit indice n tel que n = 1
Il est de 17 pour la suite de Syracuse 15 et de 46 pour la suite de Syracuse 127

* le temps de vol en altitude : c'est le plus petit indice n tel que un+1< N
Il est de 10 pour la suite de Syracuse 15 et de 23 pour la suite de Syracuse 127

* l'altitude maximale : c'est la valeur maximale de la suite
Elle est de 160 pour la suite de Syracuse 15 et de 4372 pour la suite de Syracuse 127

* Le facteur d'expansion: c'est le rapport entre le nombre de départ et l'altitude maximale

Il a été ainsi démontré que chacune des propositions suivantes était équivalente à l'énoncé de la conjecture de Syracuse elle-même :

(1) Tout vol a une durée finie
(2) Tout vol est de durée en altitude finie
(3) Tout vol a un nombre fini d'étapes paires (resp. impaires)
(4) Tout vol a un nombre fini d'étapes paires (resp. impaires) en
altitude

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Le vent souffle fort
Morte, la feuille s'envole
Puis chute, dans l'eau